التفكير الرياضي بين البداهة و تعدد مجالات الصدق
ان مجرد حديثنا عن ازمة انما ينبىء اننا في حالة " اعادة ترتيب البيت" بمعنى ان هناك تصدعات تنخر الاسس التي يقوم عليها العلم. من هذا المنطلق نتحدث عن ازمة الرياضيات في العصر الحيث ازمة اجتمعت اسبابها في الاعتقاد بقصور المبادىء الرياضية او بالاحرى في محدودية الفكر الرياضي الذي اصبح مهددا في اسسه مما اضطره الى مجاراة الواقع و الدخول في اعادة النظر في اسسه و مراجعة معاييره التي سبق و ان اعتبرها قد قدت مرة واحدة و الى الابد. لكن بان انها مجرد اسس فقدت كل قيمة ثابتة و اصبحت غير قادرة على استيعاب جديد التطور الذي شهدته الرياضيات و خاصة بروز تناقضات ساهمت في بلورة منهج رياضي جديد سمته النسبية و تعدد مجالات الصدق.
لقد اصبحت ثوابت الفكر الرياضي غير قادرة على استيعاب جديد التفكير الرياضي فكيف سيكون تصرف الرياضي لحل هذه المشاكل؟ و ما هي الاسباب الحقيقية التي دغعتنا الى الحديث عن ازمة تعيشها الرياضيات في زمن سيطرة القوانين الثابتة؟ و في اي مظهر تجلت ازمة الاسس التي زعزعت كيان البناء الرياضي و ماهي انعكاساتها الابستيمولوجية و الانطولوجية في صلب الكائن الرياضي؟
لقد مثل الانموذج الاقليدي لزمن طويل اساس الرياضيات تكون فيه البداهة سيدة الموقف. و البداهة كما يحددها الخطاب الديكارتيّ هي كل ما يتمثله ذهني بوضوح و تميز" .لقد تجاوز ديكارت التعريف التقليدي للرياضيات بما هي علم الكم( كم منفصل يبحث في علم العدد و كم كتصل يبحث في علم الهندسة ) ذلك التعريف الذي كان يعتقد ان الرياضيات علما شديد التعقيد او علما في متناول الجميع.
و راى ديكارت ان غياب المنهج جعل الرياضيات لا تعتمد عاى طرق مضبوطة بل راها في عصره شديدة الارتباط بالمعطى الحسي و الاشكال الهندسية من هنا اتجه الى تاسيس فرع جديد في اتلارياضيات و هو الهندسة التحليلية التي ستمكننا من تجاوز التعارض بين الكم المنفصل و الكم المتصل و ذلك بالتعبير عن الاشكال الهندسية انطلاقا من معطيات رياضية.
رغم اسهاماته الايجابية في تاريخ الرياضيات فان التفكير الرياضي الديكارتي ظل مسكونا بهاجس البداهة لحظة اعتباره المبادىء الولية الرياضية بديهية و متميزة بذاتها. و قد استمر هذا العتقاد الى زمن ليبنيتز حيث كانت المبادىء الرياضية مبادىء ذات قيمة ثابتة و كان الاهتمام منصبا على حقيقة الكائن الرياضي مجسما في العدد و الشكل الهندسي.
لكن بروز اهتزازات داخل نظام البداهة التي تمثل اساس و قاعدة كل بناء رياضي منذ اقليدس و وضعها ديكارت على راس قواعد منهجهلكن الوضوح و التميز ليس لهما تقديرا بل هما ذهنيان فقط.
ديكارت يضع معيار البداهة المعيار المحدد للمعرفة العقلية و من خلال مثال قطعة الشمع ندرك ان المقصود هو لمحة من لمحات الذهن اي ضرب من الحدس العقلي يبرز في الذهن فجاة من هنا كانت المبادىء الرياضية مع ديكارت مبادىء فطرية واضحة بذاتها في غنى عن كل برهان و ان كان هذا موروثا منذ القديم لكن الى اي مدى يمكن اعتبار المبادىء الرياضية واضحة بذاتهلا لا تحتاج الى برهان خاصة في ظل الاوضاع الجديدة؟.لقد كان نقد مفخوم البداهة موغلا في القدم اذ عمد كل من بروكليس و طاليس الى نقد اوليات اقليدس كما انتقد سكولائيي الاعصر الاوسيط فكرة البداهة العقلية و اعتبروا ان بداهة القضايا لا تتاتى من صدقها الفعلي المحض بل من صدقها المنطقي فهي انسجام القضية مع بقية القضايا و عدم وقوعها في تناقض و وصل الحوار و الجدل حده في العصر الاحديث في القرن السابع عشر حين حاولا كل من روبرفال و ارنولد ناسيس كتاب الاصول الجديدة نسبة الى كتاب" الاصول" لاقليدس بادرا فيه الى نقد بديهيات اقليدس.
اما ليبنيتز فقد اثار قضية ذات معنى مفادها انه اذا كان البناء الرياضي هو الذي يقوم على مجموعة من الاوليات( واضحة بذاتها لا تحتاج الى برهان) فلماذا نشكك في البناء الاقليدي اذا لم تكن مبادئه ليست بديهية بالمعنى الفطري للكلمة بل هي مجرد قضايا صادقة افتراضية تواضعية؟
و قد لقيت هذه القضية اهتماما كبيرا في القرن العشرون حينما حاولا عالمان و هما لوباتشفسكي من روسيا و ريمان من المجر تجاوز الهندسة الاقليدية بافتراضهما لبديهيات مخالفة لبديهيات اقليدس و اخذت المسلمة الخامسة مثاتلا على ذلك و هي تقول" من نقطة خارج المستقيم في سطح معين لا يمكننا رسم سوى موازيا واحدا لهذا المستقيم".
انطلق لوبا تشفسكي من نقيضهاالقائل:" من نقطة خارج مستقيم في فضاء مقعر يمكننا رسم ما لا نهاية له من المتوازيات" و توصل بذلك الى انشاء هندسة جديدة موازية لهندسة اقليدس.
اما ريمان فافترض: " من نقطة خارج مستقيم على سطح مكور لا يمكننا رسم و لا موازيا واحدا" و هكذا نشات الهندسات اللاقليدبة و ستنشا عنها استتباعات هامة لا بد من الوعي بها لانها صادقة و مبرهن عليها مثل ان مجموع زوايا المثلث لم يعد مساويا لزاويتين قائمتين بل اصبح اقل مع لوباتشفسكي 135درجة و اكثر مع ريمان 270 درجة.
انطلاقا مما سبق تكون لدينا نتائج مبرهن عليها ليست متناقضة و نكون امام ثلاث هندسات : اولى تتوسل الفضاء المسطح و ثانية تعتمد الفضاء المقعر و اخيرة تستنجد بالفضاء المكور و كلها صحيحة فماهو معيار الصدق الذي سيرينا بداهة احداها عن الاخرى؟